Indhold – Probability density funktioner

Indhold

Probability density funktioner

sandsynlighedstæthedsfunktionen (pdf) \f(x)\) af en kontinuert stokastisk variabel \(X\) er defineret som den afledte af cdf \F(x)\):

\

Det er til tider nyttigt at overveje, cdf \F(x)\) i form af pdf \f(x)\):

\

pdf \f(x)\) har to vigtige egenskaber:

1. \f(x) \geq 0\), for alle \(x\)
2. \(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\, dx = 1\).,

en uendelig række former er mulige for en pdf, da de eneste krav er de to egenskaber ovenfor. Pdf ‘ en kan have en eller flere toppe eller slet ingen toppe; det kan have diskontinuiteter, bestå af kombinationer af funktioner og så videre. figur 5 viser en pdf med en enkelt top og nogle milde skævhed. Som det er tilfældet for en typisk pdf, nærmer værdien af funktionen nul som \(\\til\ infty\) og \(. \til- \infty\).

figur 5: en pdf kan se sådan ud.,

Vi undersøger nu, hvordan sandsynligheder vedrørende den kontinuerlige tilfældige variabel \(\ \ ) vedrører dens pdf. Det vigtige resultat her er, at

\_a^b.\]

dette resultat følger af, at begge sider er lig med \(f(b) – f(a)\).

noter.

• For en kontinuerlig tilfældig variabel skal vi overveje sandsynligheden for, at den ligger i et interval. Betydningen af dette resultat er, at det fortæller os, at for at finde sandsynligheden skal vi finde området under pdf på det givne interval.
• det samlede areal under pdf er lig med 1., Så dette resultat fortæller os, at for at tilnærme sandsynligheden for, at den tilfældige variabel ligger i et givet interval, er vi bare nødt til at gætte brøkdelen af området under pdf-filen mellem enderne af intervallet.
• dette resultat giver et andet perspektiv på, hvorfor PDF-filer ikke kan være negative, da hvis de var, kunne der opnås en negativ sandsynlighed, hvilket er umuligt.
• pdf ‘ en er analog med, men forskellig fra, sandsynlighedsfunktionen (pf) for en diskret tilfældig variabel. En PF giver en sandsynlighed, så den kan ikke være større end en., En pdf \(F (\)\) kan dog give en værdi større end en for nogle værdier af\ (\\), da det ikke er værdien af \ (F ( \ )\), men området under kurven, der repræsenterer Sandsynlighed. På den anden side afspejler kurvens højde den relative sandsynlighed. Hvis \(f(b) = 2f(A)\), er en observation nær \(B\) cirka dobbelt så sandsynlig som en observation nær \(a\).,

Næste side – Indhold, – Middelværdi og varians af en kontinuert stokastisk variabel