inhoud

Kansdichtheidsfuncties

De kansdichtheidsfunctie (pdf) \(f(x)\) van een continue willekeurige variabele \(X\) wordt gedefinieerd als de afgeleide van cdf \(F(x)\):

\

het is soms nuttig om cdf \(F(x)\) te beschouwen in termen van pdf \(f(x))\):

\

de pdf \(F(X)\) heeft twee belangrijke eigenschappen:

1. \(F(X) \geq 0\), voor alle \(x\)
2. \(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\; dx = 1\).,

een oneindige verscheidenheid aan vormen is mogelijk voor een pdf, omdat de enige vereisten zijn de twee eigenschappen hierboven. De pdf kan één of meerdere pieken hebben, of helemaal geen pieken; het kan discontinuïteiten hebben, worden samengesteld uit combinaties van functies, enzovoort. figuur 5 toont een pdf met een enkele piek en een lichte scheefheid. Net als bij een typische pdf benadert de waarde van de functie nul als \(x \to \infty\) en \(x \to -\infty\).

Figuur 5: een pdf kan er ongeveer zo uitzien.,

we onderzoeken nu hoe waarschijnlijkheden met betrekking tot de continue willekeurige variabele \(X\) zich verhouden tot zijn pdf. Het belangrijke resultaat hier is dat

\_a^b.\]

Dit resultaat volgt uit het feit dat beide zijden gelijk zijn aan \(F(b) – F(A)\).

opmerkingen.

• voor een continue willekeurige variabele moeten we rekening houden met de waarschijnlijkheid dat deze in een interval ligt. Het belang van dit resultaat is dat het ons vertelt dat, om de waarschijnlijkheid te vinden, we het gebied onder de pdf op het gegeven interval moeten vinden.
• de totale oppervlakte onder de pdf is gelijk aan 1., Dus dit resultaat vertelt ons dat, om de kans te benaderen dat de willekeurige variabele in een bepaald interval ligt, we gewoon de fractie van het gebied onder de pdf tussen de uiteinden van het interval moeten raden.
• dit resultaat biedt een ander perspectief op waarom PDF ‘ s niet negatief kunnen zijn, omdat als ze dat wel waren, een negatieve waarschijnlijkheid zou kunnen worden verkregen, wat onmogelijk is.
• de pdf is analoog aan, maar verschilt van, de waarschijnlijkheidsfunctie (PF) voor een discrete willekeurige variabele. Een pf geeft een waarschijnlijkheid, dus het kan niet groter zijn dan één., Een pdf \(f (x)\) kan echter een waarde geven die groter is dan één voor sommige waarden van \(x\), Aangezien het niet de waarde van \(f(x)\) is maar het gebied onder de kromme dat waarschijnlijkheid voorstelt. Aan de andere kant weerspiegelt de hoogte van de kromme de relatieve waarschijnlijkheid. Als \(f(b) = 2f(a)\), dan is een waarneming bij \(b\) ongeveer twee keer zo waarschijnlijk als een waarneming bij \(A\).,

Volgende pagina – Inhoud – het Gemiddelde en de variantie van een continue stochastische variabele