Obsah – funkcí hustoty Pravděpodobnosti

Obsah

funkcí hustoty Pravděpodobnosti

funkce hustoty pravděpodobnosti (pdf) \(f(x)\) spojité náhodné proměnné \(X\) je definována jako derivace cdf \(F(x)\):

\

někdy je užitečné, aby zvážila cdf \(F(x)\) v podmínkách pdf \(f(x)\):

\

pdf \(f(x)\) má dvě důležité vlastnosti:

1. \(f(x) \geq 0\) pro všechna \(x\)
2. \(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\;dx = 1\).,

pro pdf je možná nekonečná škála tvarů, protože jedinými požadavky jsou výše uvedené dvě vlastnosti. Pdf může mít jeden nebo několik vrcholů nebo vůbec žádné vrcholy; může mít diskontinuity, být složen z kombinací funkcí atd. obrázek 5 ukazuje pdf s jediným vrcholem a mírnou špíz. Stejně jako u typického pdf se hodnota funkce blíží nule jako \(x \to \infty\) a \(x \to -\infty\).

Obrázek 5: pdf může vypadat takto.,

nyní zkoumáme, jak se pravděpodobnosti týkající se kontinuální náhodné proměnné \(X\) vztahují k jejímu pdf. Důležitým výsledkem je, že

\_a^b.\]

tento výsledek vyplývá ze skutečnosti, že obě strany se rovnají \(F(b) – F(a)\).

poznámky.

• pro spojitou náhodnou proměnnou musíme zvážit pravděpodobnost, že leží v intervalu. Význam tohoto výsledku spočívá v tom, že nám říká, že abychom našli pravděpodobnost, musíme najít oblast pod pdf v daném intervalu.
• celková plocha pod pdf se rovná 1., Takže tento výsledek nám říká, že, přibližné pravděpodobnost, že náhodná veličina leží v daném intervalu, musíme odhadnout zlomek plocha pod pdf mezi konci intervalu.
• tento výsledek poskytuje další pohled na to, proč PDF nemohou být negativní, protože pokud ano, lze získat negativní pravděpodobnost, což je nemožné.
• pdf je analogické, ale liší se od pravděpodobnostní funkce (pf) pro diskrétní náhodnou proměnnou. PF dává pravděpodobnost, takže nemůže být větší než jedna., Pdf \(f(x)\), nicméně, může mít hodnotu větší než jedna, pro některé hodnoty \(x\), protože to není hodnota \(f(x)\), ale plocha pod křivkou, která představuje pravděpodobnost. Na druhé straně výška křivky odráží relativní pravděpodobnost. Pokud \(f (b) = 2F(a)\), pak pozorování poblíž \(b\) je přibližně dvakrát pravděpodobnější než pozorování poblíž \(a\).,

Další stránka – Obsah – průměr a rozptyl spojité náhodné proměnné