e (日本語)

測地学、地球物理学、地図投影理論における特別な問題への応用を持つ六つの補助緯度があります：

• 地心緯度
• パラメトリック（または縮小）緯度
• 整流緯度
• 正緯度
• 共形緯度
• 等角緯度

このセクションで与えられた定義すべては参照楕円体上の位置に関連していますが、測地緯度のような最初の二つの補助緯度は、以下で説明するように三次元地理座標系を定義するために拡張することができます。, 残りの緯度はこの方法では使用されず、参照楕円体の平面への地図投影や楕円体上の測地線の計算における中間構成要素としてのみ使用されます。 それらの数値は興味がありません。 たとえば、誰もエッフェル塔の正規の緯度を計算する必要はありません。

以下の式は、測地緯度、半長軸、a、および離心率eの観点から補助緯度を与えます。,）与えられた形式は、表記上の変形とは別に、地図投影のための標準リファレンス、すなわちJ.P.Snyderによる”地図投影：作業マニュアル”のものである。 これらの表現の派生は、ＯｓｂｏｒｎおよびＲａｐｐによるＡｄａｍｓおよびオンライン出版物に見出され得る。

Geocentric latitudeEdit

地心緯度は、赤道面と中心からサーフェス上の点までの半径との間の角度です。 との関係をgeocentric緯度(θ)の地理緯度(φ)は上記の参考文献として

θ(抽)=tan−1⁡((1−e2)タン⁡抽)=tan−1⁡((1−f)2本-tan⁡抽). {\displaystyle\theta(\phi)=\tan^{-1}\left(\left(1-e^{2}\right)\tan\phi\right)=\tan^{-1}\left((1-f)^{2}\tan\phi\right)\,.,}

測地緯度と地心緯度は赤道と極で等しいが、他の緯度では数分の弧で異なる。 離心率の二乗の値を0.0067（楕円体の選択に依存する）とすると、θ−θ{\displaystyle\phi{-}\theta}の最大差は約11.5分の弧であり、測地緯度は約45°6’であることが示される。

パラメトリック（または縮小）緯度eedit

パラメトリックまたは縮小緯度βは、楕円体の中心から周囲の球上のその点Qまで描かれた半径（半径a）によって定義され、これは緯度θにおける楕円体上の点Pの地球軸に平行な投影である。 これは、楕円体上の測地線の問題を、このより小さな緯度を使用して球面測地線の同等の問題に変換することによって解決したLegendreとBesselによって導入されました。 現在の文献では、ベッセルの表記u(φ)も使用されています。, パラメトリック緯度は測地緯度に関連している：

β(θ)=tan−1θ(1−e2tanθ)=tan−1θ((1−f)tanθ){\displaystyle\beta(\phi)=\tan^{-1}\left({\sqrt{1-e^{2}}}\tan\phi\right)=\tan^{-1}\left((1-f)\tan\phi\right)}

代替名は、方程式のパラメータ化によって生じる子午線セクションを記述する楕円の。 デカルト座標p、短軸からの距離、およびz、赤道平面上の距離に関して、楕円の方程式は次のとおりです。

p2a2+z2b2=1。, {\displaystyle{\frac{p^{2}}{a^{2}}}+{\frac{z^{2}}{b}}^{2}}}=1\,.}

点のデカルト座標は

p=a cos⁡β,z=b sin⁡β;{\displaystyle p=a\cos\beta\,,\qquad z=b\sin\beta\,;}

ケイリーはこれらの方程式の形からパラメトリック緯度という用語を提案した。

パラメトリック緯度は地図投影の理論では使用されていません。 その最も重要な応用は、楕円体測地線の理論（Vincenty、Karney）にあります。,istanceスケールでその価値の極等を90度にはπ/2ラジアン。

μ(抽)=π2m（抽)m p{\displaystyle\mu(\phi)={\frac{\pi}{2}}{\frac{m(\phi)}{m_{\mathrm{p}}}}}

の子午線からの距離の赤緯度φが見Meridianアーク)

m(抽)=a(1−e2)∫0抽(1−e2sin2⁡抽’)−3 2d抽’,{\displaystyle m(\phi)=a\left(1-e^{2}\right)\int_{0}^{\phi}\left(1-e^{2}\sin^{2}\phi”\right)^{-{\frac{3}{2}}}\,d\phi”\,,}

の長さを子午線領域から赤道を極の極性の距離)は、

m p=m(π2)., {\displaystyle m_{\mathrm{p}}=m\left({\frac{\pi}{2}}\right)\,.}

整流緯度を用いて半径の球上の緯度を定義する

R=2m p∞{\displaystyle R={\frac{2m_{\mathrm{p}}}{\pi}}}

楕円体から球への射影を定義し、すべての子午線が真の長さと均一なスケールを持つ。 次に、すべての子午線が真の長さと一様な子午線スケールを持つように、楕円体から平面への二重投影を与えるために、球を正距円筒投影で平面に投影することができる。, 整流緯度の使用の例は、等距離円錐図法である。 （スナイダー、セクション16）。 整流緯度は、横メルカトル図法の構築においても非常に重要である。

Authalic latitudeEdit

authalic（同じ面積を表すギリシャ語）緯度λは、球に面積を保存する変換を与えます。,\frac{1-e\罪\ファイ}{1+e\罪\ファイ}}\右）\\&={\frac{\左（1-e^{2}\右）\罪\ファイ}{1-e^{2}\罪^{2}\ファイ}}+{\frac{1-e^{2}}{e}}\tanh^{−1}（e\罪\ファイ）端{整列}}}

および

q p=q(√2)=1−1−e2 2e ln√(1−e1+e)=1+1−e2e tanh-1√e{\displaystyle{\begin{aligned}q_{\mathrm{p}}=q\left({\frac{\pi}{2}}\right)&=1-{\frac{1-e^{2}}{2e}\ln\left（{\frac{1-e}{1+e}}\right）\\&=1+{\frac{1-e^{2}}{e}}\tanh^{-1}e\end{aligned}}}

そして、球の半径は

r q=a q p2として取られます。, {\displaystyle R_{q}=a{\sqrt{\frac{q_{\mathrm{p}}}{\displaystyle R_{q}}=a{\sqrt{\frac{q_{\mathrm{p} }}{2}}}\,.}

正緯度の使用例は、アルバース等面積円錐図法です。:§14

共形緯度eedit

共形緯度θは、球に角度保存（共形）変換を与えます。,

χ(抽)=2tan−1⁡1 2−π2=2tan−1⁡−π2=tan−1⁡=gd⁡{\displaystyle{\begin{揃え}\chi(\phi)&=2\tan^{-1}\left^{\frac{1}{2}}-{\frac{\pi}{2}}\\&=2\tan^{-1}\left-{\frac{\pi}{2}}\\&=\tan^{-1}\left\\&=\operatorname{gd}\left\end{揃え}}}

がgd(x) のGudermannianます。 （メルカトル図法も参照。,）

共形緯度は、楕円体から任意の半径の球への変換を定義し、楕円体上の任意の二つの線の間の交点の角度が球上の対応する角度と同じである（小さな要素の形状がよく保存されるように）。 球から平面へのさらなる共形変換は、楕円体から平面への共形二重投影を与える。 これは、このような共形図法を生成する唯一の方法ではありません。, 例えば、楕円体上の横メルカトル図法の”正確な”バージョンは二重図法ではありません。 （しかし、それは複素平面への共形緯度の一般化を伴う）。

Isometric latitudeEdit

isometric latitude θは、通常のメルカトル図法と横メルカトル図法の楕円体バージョンの開発に使用されます。, “等尺性”という名前は、楕円体上の任意の点において、θと経度θの等しい増分がそれぞれ子午線と緯線に沿って等しい距離変位を生じるという事実 定数λと定数λの線によって定義される経緯線は、楕円体の表面を（さまざまなサイズの）正方形のメッシュに分割します。 等角緯度は赤道ではゼロですが、測地緯度から急速に発散し、極では無限大になる傾向があります。, 従来の表記はSnyder(15ページ:

ψ(抽)=ln⁡+eの2ln⁡=sinh−1⁡(tan⁡抽)−e tanh−1⁡(e sin⁡抽)=gd−1⁡(抽)−e tanh−1⁡(e sin⁡抽). {\displaystyle{\開始{整列}\psi(\phi)&=\ln\左+{\frac{e}{2}}\ln\左\&=\sinh^{-1}(\tan\phi)-e\tanh^{-1}(e\sin\phi)\&=\オペレータ名{gd}^{-1}(\phi)-e\tanh^{-1}(e\sin\phi)。,射影上の赤道の長さがE（長さまたはピクセルの単位）である場合、赤道からの緯度θの平行の距離yは

y(θ)=E2θ(θ)です。 {\displaystyle y(\phi)={\frac{E}{2\pi}}\psi(\phi)\,.}

等長緯度ψとの関わりの深共形緯度χ:

ψ(抽)=gd−1⁡χ(抽). {\displaystyle\psi(\phi)=\operatorname{gd}^{-1}\chi(\phi)\,.,}

逆公式およびシリーズ編集

前のセクションの式は、測地緯度に関して補助緯度を与えます。 地心およびパラメトリック緯度の表現は直接反転することができるが、これは残りの四つのケースでは不可能である：整流、正則、共形、および等尺性緯度。 手続きには二つの方法があります。 最初のものは、補助緯度の各特定の値に対する定義方程式の数値反転です。 利用可能なメソッドは、固定小数点反復とニュートン-ラフソン根検出です。, もう一つの、より有用なアプローチは、測地緯度に関する系列として補助緯度を表現し、Lagrange reversionの方法によって系列を反転させることです。 このような級数は、テイラー級数展開を使用し、離心率に関して係数を与えるAdamsによって提示されます。 Ｏｓｂｏｒｎは計算機代数パッケージＭａｘｉｍａを用いて任意の次数の級数を導出し，係数を離心率と平tening化の両方の観点から表現した。 級数法は等角緯度には適用できず、中間ステップで等角緯度を使用する必要があります。,

補助緯度の数値比較編集

右のプロットは、wgs84楕円体の場合の等角緯度（極で無限大に発散する）以外の測地緯度と補助緯度の差を示しています。 プロットに示されている違いは、円弧分です。 北半球（正の緯度）では、λ ββ;南半球（負の緯度）では、不等式は逆になり、赤道と極で等しくなります。, グラフは約45°対称に見えますが、曲線の最小値は実際には45°2’と45°6’の間にあります。 いくつかの代表的なデータポイントを以下の表に示します。 等角緯度と地心緯度はほとんど区別できず、地図投影の構築を促進するために手計算機の時代に悪用された事実です。：108