ランダム変数プロジェクトラボ、ユタ大学

“私は、とにかく、彼はサイコロを投げないと確信しています。,”

~Albert Einstein

• 確率変数
  • 離散確率変数
  • 連続確率変数
  • 混合確率変数
• 累積分布関数(CDF)
• 確率密度関数(PDF)
• インタラクティブなCDF/PDFの例

確率変数：

あなたのポケットからコインを取り、それを空中に投げることだったとします。 それは宇宙を反転しながら、あなたはおそらくその未来について何を言うことができ

それは頭を上げるのだろうか？ テイルズ?, それ以上に、それはどのくらい空気中に残るのだろうか？ 何回跳ね返りますか？ どこまでで最初にぶつかることから、地上で最後に来ます。 その点では、それは地面に当るか。 今まで残りの部分に来ますか？

そのような質問については、観測のずっと前に答えを解決することができ、解決することができます。 しかし、他の人にとっては、将来について何か役に立つことを言いたいのであれば、判断を持ち、より曖昧な言葉で話すしかありません。,

科学者として、もちろん、有用なもの（または少なくとも権威あるもの）を言うことは私たちの仕事です。..）、重要な物理的なシステムの比喩的なコインはまだ空気中にありますが。 頭や尾は生死の問題かもしれません。 私たちのコインは、例えば、原子力発電所における様々な可能な冷却材流量またはウランの質量であってもよい。 私たちは、メルトダウンの代わりにタービンを旋回させる可能性があることを知っていることを大いに気にしています。,

厳密な決定論者にとって、そのような賭けはすべて、比喩的であろうとなかろうと、コインが鋳造されるずっと前に決済されました。 私たちがコインの投げで適用される力、その正確な質量の分布、部屋の空気のさまざまな微細な動きだけを知っていたならば。.. 私たちがそれをすべて知っていれば、特定のコイントスには100％の着陸の可能性があり、他の結果の可能性はゼロであることがわかります。

しかし、私たちはもちろん、世界のそのような知識の言及できる部分さえも欠けていることがよくあります。, 例えば、ウラン原子がいつ分裂するかを予測する方法はなく、そのような出来事がより大きな世界に影響を与えるならば、そのマクロイベントは本当に予測不可能である。 いくつかの結果は本当に空中にあり、過去の一部になるまで不安定です。

この現実に対処し、システムの将来の状態を何らかの有用な方法で記述できるようにするために、ランダム変数を使用します。, 確率変数は、単にシステムのそれぞれの可能な物理的結果をある一意の実数に関連付ける関数です。 そのため、離散変数、連続変数、混合変数の三種類があります。 以下のセクションでは、これらのカテゴリについて簡単に説明し、例を示します。

離散確率変数：

コイントスをもう一度考えてみましょう。 我々は可能な結果として頭や尾を持つことができます。 変数xをシングルトスの頭の数として定義した場合、xはおそらく1または0になる可能性がありますが、他には何もありません。, このような関数xは、離散確率変数の例となります。 ようなランダム変数できるようにしました離散数値です。 他の例は、妊娠検査の可能な結果、またはクラスルーム内の学生の数であろう。

連続確率変数：

コイントスに戻ると、コインが静止した場所と最初に地面に当たった場所の間の距離を記述したい場合はどうなりますか。 その距離xは、実数の連続範囲内で無限の数の値を取る可能性があるため、連続確率変数になります。, 硬貨は1cm、または1.1cm、または1.11cm、または上と上に移動することができます。 連続ランダム変数の他の例は、私たちの銀河内の星の質量、海水のpH、またはガスクロマトグラフ内のいくつかの分析物の滞留時間であろう。

混合確率変数：

混合確率変数は離散成分と連続成分の両方を持ちます。 このような確率変数に遭遇することはまれです。 ただし、可能な例としては、サンプルの重量を測定し、負の値として測定された重量には0の値が与えられると判断することができます。, このようにして、確率変数はx=0の離散成分とx>0の連続成分を持ちます。

累積分布関数（CDF）：

もちろん、ランダム変数を数学的に記述（および視覚的に表示）する方法についての問題が生じます。 これらのタスクには、確率密度関数（PDF）と累積密度関数（CDF）を使用します。 Cdfは離散確率変数と連続確率変数の両方についてPdfよりも理解しやすいので、最初にCdfについて説明します。

公正な6siddedサイコロを投げることを検討してください。, 私たちは、確率変数の可能な値のいずれかを得る1で6のチャンスを持っているでしょう(1, 2, 3, 4, 5, または6）。 これらの可能な値をx軸にプロットし、それぞれの特定の値、x、またはxより小さい値を測定する確率をy軸にプロットすると、確率変数の累積分布関数が得られます。

この関数CDF(x)は、xまでの任意の値を測定するオッズを単純に示します。, したがって、すべてのCdfはすべて次の特性を持たなければなりません。

1. X=-∞の場合、CDFは0に等しくなければならず、xが+∞に近づくにつれて1(または100%)に近づく必要があります。 簡単に言えば、すべての可能な結果のうち、結果がなければなりません;六面サイコロを投げ、-πとπの間の値を得る可能性は100％です。
2. 累積分布関数の傾きは、常にゼロ以上でなければなりません。 たとえば、6つのサイコロを投げて（公正かどうか）、0と4の間の値を得る可能性を考えてみましょう。, そのチャンスは、おそらく0と5の間の値を得るチャンスよりも多くすることはできません,1,2,または3着陸フェイスアップのオッズは、もちろん、常に1,2,3,または4を得るオッズのいくつかの割合になるだろうからです.

連続確率変数の例として、次のアプレットは正規分布の累積分布関数を示しています。,div>